摘要：应用多重分形理论验证了路面纹理的多尺度特性，研究了路面纹理多重分形谱的直接计算方法以及权重因子对计算结果的影响规律。测量了４组不同级配的沥青混凝土样块纹理高程值，利用小波变换消除噪声数据，分别计算各组样块纹理的多重分形谱参数，构建了一种应用多重分形谱描述与识别路面纹理特征的新方法。分析结果表明：路面纹理呈现出复杂性与自相似性特征，不同路面纹理之间的多重分形谱存在明显的差异性；路面纹理越复杂，高程波度越剧烈，多重分形谱参数越大，反之则越小；对于相同类型的路面纹理，多重分形谱形状和参数均相近。可见，多重分形是一种描述与识别路面纹理特征的有效方法。
关键词：路面工程；路面纹理；小波变换；多尺度分析；特征识别；多重分形特征
１理论方法单重分形理论首先由Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ提出，并被用于描述物体的自相似性和复杂性特征，由此发展而来的多重分形则提供了一种从局部分析物体奇异性现象的定量方法。对于沿纵断面的路面纹理高程信号而言，采用尺度为Ｌ的盒子对其进行覆盖，记Ｈｉ（Ｌ）为该尺度下第ｉ个盒子内的所有高程数据之和，定义概率测度为Ｐｉ（Ｌ）＝ Ｈｉ（Ｌ）／∑Ｎ（Ｌ）ｉ＝１Ｈｉ（Ｌ） （１）式中：
Ｎ（Ｌ）为在尺度Ｌ下的覆盖信号的盒子总数。式（１）描述了一种定义在分形结构上的概率分布。在无标度区域内，概率测度组成的一系列子集满足的幂函数关系为Ｐｉ（Ｌ）∝Ｌαｉ（２）式中：αｉ为Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ－Ｈｏｌｄｅｒ指数或奇异强度，它反映了局部区域内概率子集的分布特征，而且在分形曲线上它是有界的，即有最大值αｍａｘ和最小值αｍｉｎ；∝表示正比于。研究发现，某些区域内的αｉ是相似的，且位于α和α＋ｄα之间的概率测度为Ｐｉ（Ｌ）的盒子数Ｎ（α）与尺度Ｌ存在标度关系，即Ｎ（α）∝Ｌ－ｆ（α）（３）式中：
ｆ（α）为奇异强度为α的子集的分形维数。ｆ（α）和α构成的函数关系被定义为多重分形谱或奇异谱。为得到多重分形谱，定义一定尺度Ｌ和ｑ阶矩下的配分函数为χｑ（Ｌ）＝∑Ｎ（Ｌ）ｉ＝１［Ｐｉ（Ｌ）］ｑ＝Ｌτ（ｑ）（４）式中：τ（ｑ）为ｑ阶矩的质量指数，ｑ也表示每个盒子的权重因子。当ｑ≥１时，概率测度的高值对配分函数起主导作用，当ｑ＜１时，概率测度的低值对配分函数的贡献占优势，配分函数实际上给出了概率测度的另一种分布形式。如果χｑ（Ｌ）和Ｌ在双对数坐标图上呈现出一组斜率不等的近似直线或者τ（ｑ）是ｑ的凸曲线函数，则被研究对象具有多重分形特征。
通常情况下，分形谱可由Ｌｅｇｅｎｄｒｅ变换得到，也可以通过式（２）、（３）计算得到，但是为了提高计算精度，Ｃｈｈａｂｒａ等提出了一套直接计算多重分形谱的方法，首先定义正交化的函数族为μｉ（ｑ，Ｌ）＝［Ｐｉ（Ｌ）］ｑ∑Ｎ（Ｌ）ｉ＝１［Ｐｉ（Ｌ）］ｑ（５）１６第３期 王维锋，等：路面纹理的多重分形特征描述与识别方法多重分形谱为α（ｑ）＝ｌｉｍＬ→０Ａｌｎ（Ｌ）ｆ（ｑ）＝ｌｉｍＬ→０Ｂｌｎ（Ｌ���睿�（６）Ａ ＝∑Ｎ（Ｌ）ｉ＝１μｉ（ｑ，Ｌ）ｌｎ［Ｐｉ（Ｌ）］Ｂ ＝∑Ｎ（Ｌ）ｉ＝１μｉ（ｑ，Ｌ）ｌｎ［μｉ（ｑ，Ｌ）］式中：α（ｑ）为自变量为ｑ的奇异强度。
式（６）表明，ｆ（α）和α分别是ｑ的隐函数，通常，ｆ（α）是一条单峰凸曲线。多重分形谱的常用参数有：分形谱宽度Δα为αｍａｘ－αｍｉｎ，表征了分形结构上概率测度分布的不均匀性程度，可以反映路面纹理高程信号的波动性，即Δα越大，则路面纹理波动越剧烈，反之亦然；最大、最小概率子集分形维数的差别Δｆ为ｆ（αｍｉｎ）－ｆ（αｍａｘ），表征了子集中元素个数在最大、最小处的比例，可以反映路面纹理高程信号的大、小峰值分布，其中，Δｆ＞０说明路面纹理信号最高峰值出现的次数多于最小峰值出现的次数，且Δｆ越大，路面纹理的尖锐程度越高，反之亦然，因此，Δα和Δｆ能综合反映路面纹理的粗糙程度和复杂程度。
２试验研究２．１数据选择采用４种不同级配设计方法铺筑的沥青混凝土路面进行钻芯取样。第１组为密级配沥青混凝土路面样块，最大公称粒径分别为５、１０、１３、１６ｍｍ；第２组为高性能沥青路面样块，见图１（ｅ）、（ｆ），最大公称粒径均为１２．５ｍｍ；第３组为开级配沥青磨耗层路面样块，最大公称粒径均为１３ｍｍ；第４组为沥青玛蹄脂碎石路面样块，见图１（ｉ）、（ｊ），最大公称粒径均为１３ｍｍ。
采用自主开发的路面构造深度测试装置采集路面纹理高程数据，该装置中激光测距仪的采样频率为３２ Ｈｚ，分 辨 率 为０．０３２ ｍｍ，测 量 范 围 为１２８ｍｍ，采集到的路面高程原始数据考虑到电磁干扰和振动会产生噪声信号，而小波变换在去噪方面具有明显优势，所以本文采用ｄｂ３小波对原始数据进行滤波，得到的第３层细节信号和逼近信号分别见图２（ｂ）、（ｃ）。
２．２多重分形特征验证为了说明多重分形理论用于研究路面纹理特征图１不同类型的４组沥青路面样块Ｆｉｇ．１ Ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ａｓｐｈａｌｔ ｐａｖｅｍｅｎｔ ｓａｍｐｌｅｓ的适用性，首先验证所采集的样块表面纹理确实具有多重分形特征。根据纹理高程数据计算配分函数和质量指数，结果见图３、４。图３表明，对于给定的ｑ值，ｌｎ［χｑ（Ｌ）］和ｌｎ（Ｌ）近似呈一条直线关系，这说明被研究对象具有分形标度特征；对于不同的ｑ值，各直线间的斜率不相等，这说明被研究对象具有多标度特征；随着ｑ值减小，直线间的距离依次增大，当ｑ≥－１时，二者的线性关系明显，当ｑ＜－１时，二者的线性关系逐渐减弱，这是因为负阶矩将放大１７交通运输工程学报 ２０１３年图２基于小波变换的样块表面高程数据滤波Ｆｉｇ．２ Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇ ｎｏｉｓｅｓ ｏｆ ｐｒｏｆｉｌｅ ｈｅｉｇｈｔｓ ｕｓｉｎｇｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ路面纹理高程信号的小误差。图４表明，τ（ｑ）与ｑ呈凸曲线函数关系。可见，所研究的沥青样块表面确实具有多重分形特征，因而能够运用多重分形理论描述路面纹理特征。
χｑ（Ｌ）与Ｌ的关系Ｆｉｇ．３ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎχｑ（Ｌ）ａｎｄ Ｌ２．３权重因子ｑ的影响配分函数是计算多重分形谱的基础，从式（４）可以发现，权重因子ｑ的最大取值范围直接影响配分图４ τ（ｑ）随ｑ的变化曲线Ｆｉｇ．４ Ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆτ（ｑ）ｗｉｔｈ ｑ函数的计算结果。从式（６）可以发现，ｆ（α）和α均与ｑ存在密切关系，从理论上讲，对于某一固定的ｑ值而言，式（６）中分式的分母与分子之间应该有良好的线性关系，二者拟合的直线斜率即为对应于该ｑ值下的α和ｆ（α），如果改变ｑ值后导致这种线性关系急剧下降，则多重分形谱计算结果的可靠度将降低。进一步的计算发现：当ｑ＜０时，ｆ（α）是ｑ的递增函数；当ｑ＞０时，ｆ（α）是ｑ的递减函数；当ｑ＝０时，ｆ（α）取得最大值；α是ｑ的递减函数，且α曲线的两端呈平缓变化趋势，见图６；ｑ的取值范围值越大，Δα值也越大。
Ａ、Ｂ与ｌｎ（Ｌ）的关系Ｆｉｇ．５ Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ａｍｏｎｇ Ａ，Ｂａｎｄ ｌｎ（Ｌ）ｑ的理论取值位于－∞和＋∞之间，但是，过大的ｑ值会增大计算多重分形谱的复杂程度，而且当ｑ超过一定值后，计算结果的变化将不再明显。多重分形谱随ｑ取值范围变化，当ｑ的最大取值位于－８～８之间时，多重分形谱趋于稳定。实际１８第３期 王维锋，等：路面纹理的多重分形特征描述与识别方法图６ ｆ（α）和α随ｑ值变化曲线Ｆｉｇ．６ Ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｆ（α）ａｎｄαｗｉｔｈ ｑ ｖａｌｕｅｓ上，由小范围ｑ值计算得到的多重分形谱为大范围ｑ值下多重分形谱的子集，只有稳定的多重分形谱才能完全刻画被研究对象的奇异特征。注意到，ｑ是以距表示方法反映路面纹理高程的概率测度分布，ｑ取值范围与沥青混凝土路面类型相关，对于粗糙的沥青混凝土路面而言，ｑ可选择较小的取值范围，对于密级配的沥青混凝土路面而言，ｑ可选择较大的取值范围，且对于不同类型的路面而言，Δα、Δｆ随着ｑ的取值范围增大而变大，最后趋于稳定值，因此，如何确定合理的ｑ取值区间是计算多重分形谱的核心问题之一。有研究指出，当ｑ每改变１时，如果Δα的变化率小于０．２％，那么该ｑ值即为其最大取值范围，本文将按照该方法确定ｑ的取值范围。
ｑ取值范围对计算多重分形谱的影响Ｆｉｇ．７ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｑｒａｎｇｅｓ ｏｎ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｒａ２．４结果分析４种级配类型样块表面纹理的分形，从中可以发现，４组样块的多重分形谱形状存在差别。对于沥青混凝土路面，随着集料最大公称粒径的增大，多重分形谱的宽度逐渐增大，这说明表面纹理的起伏程度加剧。图，对于不同类型的路面，尽管集料最大公称直径大小相近，但是其多重分形谱的形状不同，这说明材料的级配组成和施工工艺对路面纹理的粗糙度有影响；此外，同一类型路面的两样本之间的多重分形谱具有相似性，这说明路面在多重分形特征上具有聚类性。为了定量分析路面多重分形特征，分别计算出４组样块表面纹理的多重分形谱参数，Δα、Δｆ随样块类型的变化可得如下结论。
（１）对第１组样块：Δα值相对较小，这是因为该组样块均属于密实型沥青混凝土结构，其矿料级配按最大密实原则设计，并采用连续性级配，且空隙率小，所以表面纹理波动平缓；Δｆ值也相对较小，说明表面纹理深度的最大峰值概率较小，因而路面的尖锐度较小，由此可以推断路面的抗滑性能较差。随着最大公称粒径从ＡＣ５、ＡＣ１０、ＡＣ１３到ＡＣ１６依次增加，Δα值和Δｆ值呈上升趋势，可见，集料的最大公称粒径也有可能增加了路面的不均匀程度。
（２）对第２、３、４组样块之间：虽然集料最大公称粒径相近，但是ＯＧＦＣ１３和ＳＭＡ１３的Δα值和Δｆ值均大于Ｓｕｐｅｒｐａｖｅ１２．５的Δα值和Δｆ值，说明级配组成为ＯＧＦＣ１３和ＳＭＡ１３的沥青路面纹理的粗１９交通运输工程学报 ２０１３年样块表面纹理的多重分形谱Ｆｉｇ．８ Ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｅｘｔｕｒｅｓ图９不同类型样块Δα与Δｆ的变化Ｆｉｇ．９ Ｃｈａｎｇｅｓ ｏｆΔαａｎｄΔｆｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓａｍｐｌｅｓ糙度和尖锐程度高，由此可以推断其抗滑性能好。
这３组样块的材料级配组成和施工工艺不同导致了上述结果，其中Ｓｕｐｅｒｐａｖｅ１２．５的最大公称粒径略小，路面集料较密实，因而其表面纹理相对平缓；ＯＧＦＣ１３的 级 配 为 开 级 配，其 表 层 空 隙 率 为１５％～２２％，因而加剧了表面纹理的振动程度（Δα值和Δｆ值均较大），从而可有效提高路面抗滑性能，此外，大的空隙率提高了路面排水性能，所以该种纹理的路面能保证雨天抗滑性能的稳定性，特别适用于高等级道路表层；ＳＭＡ１３选用坚韧、粗糙、有棱角的优质石料组成粗集料，并由沥青、矿粉、纤维稳定剂及少量细集料组成的沥青玛蹄脂结合料充填于间断级配的粗集料碎石骨架的间隙而形成，因而其表面结构复杂，集料空隙大，导致了该路面的不均匀程度较高（Δα值和Δｆ值均较大），这使得其抗滑性能很高，而且集料骨架嵌挤作用增强了纹理的耐磨性，其抗滑性能的稳定性也较好，因而ＳＭＡ１３常用于高速公路表层。
（３）对第２、３、４组样块内部：每组样块中的２个样本均具有相近的Δα值和Δｆ值，这说明多重分形谱能够稳定描述路面纹理特征，同时结合上述结论，可以得出多重分形谱可有效用于路面纹理特征识别。
参 考 文 献 ：
Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：
［１］ＡＳＩ Ｉ Ｍ．Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｓｋｉｄ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｓｐｈａｌｔ ｃｏｎｃｒｅｔｅｍｉｘｅｓ［Ｊ］．Ｂｕｉｌｄｉｎｇ ａｎｄ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，２００７，４２（１）：３２５－３２９．
［２］ＭＡＹＯＲＡ Ｊ Ｍ Ｐ，ＰＩＮＡ Ｒ Ｊ．Ａｎ ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｋｉｄ ｒｅｓｉｓｔ－ａｎｃｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｒａｆｆｉｃ ｓａｆｅｔｙ ｕｎｄｅｒ ｗｅｔ－ｐａｖｅｍｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｃｃｉｄｅｎｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ，２００９，４１（４）：８８１－８８６．［３］ＡＳＴＭ Ｅ２７４／Ｅ２７４Ｍ－１１，ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｋｉｄｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｐａｖｅｄ ｓｕｒｆａｃｅ ｕｓｉｎｇ ｆｕｌｌ－ｓｃａｌｅ ｔｉｒｅ［Ｓ］．