摘要：为了有效抑制磁悬浮车轨耦合振动，将车轨耦合振动系统简化为单铁－弹性轨道模型，利用状态观测器将轨道梁振动信息引入控制系统，设计了全状态反馈最优控制器，并基于ｄＳＰＡＣＥ搭建了小比例弹性轨道梁磁悬浮耦合振动试验台。与传统控制方法进行了对比，发现所提出的控制方法能够在较小的轨道梁刚度与无阻尼条件下依然保持悬浮系统的稳定；阶跃响应的试验台测试结果表明，利用所设计的控制器，系统能够在０．３ｓ进入稳定状态，超调量仅为４％。分析结果表明：所提出的控制方法能够有效抑制磁悬浮车轨耦合振动，在满足稳定悬浮的同时，降低了系统稳定性对轨道梁特性的过分依赖。
关键词：车辆工程；磁悬浮控制；全状态反馈；车轨耦合振动；最优控制；小比例试验台
１系统数学模型的建立磁悬浮列车一般是由多个悬浮点支撑，但通过解耦，悬浮系统可以分解为单个悬浮磁铁的控制问题，所以单铁悬浮系统是磁悬浮系统的基本单元，分析单铁悬浮系统的动态模型和动态特性比分析多铁系统更具通用性，因此，本文将磁悬浮车轨耦合系统简化为图１的单铁－弹性轨道模型，以研究磁悬浮列车在弹性轨道上静悬浮的控制稳定性问题。图１中以轨道板与弹簧模拟轨道梁的１阶振动特性，其中ｍ１为轨道板质量，ｍ２为电磁铁质量，ｋ为弹簧刚度，ｘ１、ｘ２分别为轨道梁和电磁铁相对于平衡位置的位移。
2将式（１）在该点处线性化，可得Ｆ ＝－Ｐｓ（ｘ２－ｘ１）＋ＰＩＩ（２）Ｐｓ＝μ０ｎ２Ａｍ２ｓ３Ｉ２ＮＰＩ＝μ０ｎ２Ａｍ２ｓ２ＩＮＩ＝Ｉａ－ＩＮ式中：Ｐｓ、ＰＩ分别为气隙系数和电流系数。
式（２）中Ｆ为平衡掉电磁铁重力后的电磁力，其作为系统内力分别作用在电磁铁和轨道梁上，平衡状态下该值为０。系统的力学方程可表达为ｍ１ｘ··１＝Ｆ－ｋｘ１（３）ｍ２ｘ··２＝－Ｆ（４）由Ｍｅｉｓｉｎｇｅｒ的推导，得到电学方程为弹性轨道梁上磁悬浮控制方法Ｉ·＝－ＲＬＩ＋（１－η）ＰｓＰＩ（ｘ·２－ｘ·１）＋ＵＬ（５）式中：
Ｒ为电磁铁电阻；Ｌ、η分别为平衡点处的电磁铁电感和漏磁率；Ｕ为电磁铁两端电压。由式（２）、（４）可得Ｉ＝ＰｓＰＩ（ｘ２－ｘ１）－ｍ２ＰＩｘ··２（６）对式（６）两边求导后整理得到ｄ３ｘ２ｄｔ３＝Ｐｓｍ２（ｘ·２－ｘ·１）－ＰＩｍ２Ｉ·（７）选取ｘ１、ｘ·１、ｘ２、ｘ·２、ｘ··２作为状态变量，悬浮间隙与电磁铁垂向加速度作为系统的输出量，则车轨耦合振动模型为Ｘ·＝ＡＸ ＋ＢＵＹ ＝｛ＣＸ（８）Ｘ＝ ｘ１，ｘ·１，ｘ２，ｘ·２，ｘ··（ ）２ＴＹ＝（ｘ２－ｘ１，ｘ··２）ＴＡ＝０ １ ０ ０ ０－ｋｍ１０ ０ ０ －ｍ２ｍ１０ ０ ０ １ ００ ０ ０ ０ １－ＰｓＲｍ２Ｌ－ηＰｓｍ２ＰｓＲｍ２ＬηＰｓｍ２－Ｒ��硌妫�瘢拢� ０ ０ ０ ０ －ＰＩｍ２［ ］ＬＴＣ＝－１ ０ １ ０ ０［ ］０ ０ ０ ０ １２弹性轨道梁磁浮试验台的搭建为验证控制策略的正确性，搭建了弹性梁磁浮试验台。试验台由单磁铁悬浮台、功率放大电路、ｄＳＰＡＣＥ与直流电源等组成，试验台的主要参数见表１。采用转臂式单磁铁悬浮台，转臂的一端固定电磁铁，另一端通过轴承与底座相连，当摆臂在小范围内摆转时，电磁铁的运动可视为竖直方向的直线运动；利用螺钉将加速度传感器（ＬＣ０７０１－５）与间 隙传感器（ＬＸＣ－Ｍ０５Ｐ２）连接在电磁铁相应位置，表１试验台参数Ｔａｂ．１ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｅｓｔ ｒｉｇ物理量 数值 物理量 数值ｍ２／ｋｇ １．８ Ｒ／Ω １２ｍ１／ｋｇ ０．８ ｋ／（ｋＮ·ｍ－１）１０Ｌ／Ｈ（间隙１０ｍｍ）０．３ Ｐｓ／（Ｎ·ｍ－１）３ ５６０η（间隙１０ｍｍ）０．６５ ＰＩ／（Ｎ·Ａ－１）１９．８用于测量电磁铁加速度与悬浮间隙；轨道板通过弹簧与支座相连，从而模拟轨道梁的弹性振动，通过选择不同刚度的弹簧，调节轨道梁的自振频率。系统的气隙系数Ｐｓ与电流系数ＰＩ通过试验的方法得到。
３控制器设计３．１状态观测器设计控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到的，然而，在确保系统能观性的前提下，可以通过状态观测器，利用系统的输出获取系统的状态变量。在磁悬浮控制系统的设计中，由于目前速度传感器的技术水平不能达到所需的测量精度，悬浮车辆与轨道的垂向振动速度不能通过测量得到，因此，本文利用技术上较为成熟的加速度传感器和间隙传感器，通过测量得到的磁铁加速度与悬浮间隙获取系统的其他状态变量。
弹性轨道梁磁悬浮系统的能控性和能观性的判断矩阵分别为Ｍ ＝ Ｂ ＡＢ Ａ２Ｂ Ａ３Ｂ Ａ４［ ］ＢＮ ＝ Ｃ ＣＡ ＣＡ２ＣＡ３［ ＣＡ］４ Ｔ将数值代入，可知矩阵Ｍ和Ｎ均为满秩矩阵，因此，系统是能控和能观测的。设计了渐近型状态观测器，见图３，其中Ｙ⌒为采用观测器对系统输出的估计矢量，Ｇ为观测器的输出误差反馈矩阵，Ａ１、Ｂ１、Ｃ１为观测器对被控对象的描述矩阵，采用不同的控制方法时这些矩阵具有不同的维数和数值。
３．２不考虑轨道弹性的控制器设计不考虑轨道的弹性，假定轨道位移为０，因此，状态反馈控制方法中只有３个状态变量：
ｘ２、ｘ·２、３５交通运输工程学报２０１３年图３状态观测器Ｆｉｇ．３ Ｓｔａｔｅ ｏｂｓｅｒｖｅｒｘ··２，反馈控制规律为Ｕ ＝－ＫＸ⌒（９）Ｋ ＝ Ｋ１，Ｋ２，（ Ｋ）３Ｘ⌒＝ ｘ⌒２，ｘ⌒·２，ｘ⌒··（ ）２Ｔ式中：
Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３分别为控制器的反馈系数；ｘ⌒２为利用状态观测器得到的磁铁相对于平衡点的位移。在不考虑轨道梁弹性的控制器中，由于假定轨道不会振动，间隙传感器测得的值被认定为电磁铁的绝对位移，并用控制器中观测到的电磁铁位移去逼近悬浮间隙，即ｘ⌒２＝ｘ２－ｘ１。由于状态矢量中仅有３个变量，因此，图３观测器中各矩阵为Ａ１＝０ １ ００ ０ １ＰｓＲｍ２ＬηＰｓｍ２－Ｒ��硌妫�瘢拢保剑埃埃�ＰＩｍ２��硌妫�瘢茫保剑薄。啊。埃� ］０ ０ １观测器的输出误差反馈矩阵Ｇ与控制器的反馈系数矢量Ｋ可根据控制目标采用极点配置方法或者线性二次型最优控制方法计算得到。
在不考虑轨道弹性的闭环控制系统中，若选取ｘ１、ｘ·１、ｘ２、ｘ·２、ｘ··２、ｘ⌒２、ｘ⌒·２、ｘ⌒··２作为整个系统的状态变量，其中前５个变量用于描述被控对象的状态信息，后３个变量为由控制器观测到的系统状态，因此，整个闭环系统矩阵为Ａｒ＝Ａ －ＢＫＧＣ Ａ１－ＧＣ１－Ｂ１［ ］Ｋ（１０）Ａｒ是一个８维矩阵，其特征值决定了系统的动力学行为。通过设定不同的弹簧刚度来模拟轨道梁的自振频率，分别计算轨道梁自振频率在１～１００Ｈｚ变化系统矩阵Ａｒ的特征根，进而得到特征根实部的最大值，随着轨道梁自振频率增加，即其刚度的增大，系统矩阵特征根实部的最大值逐渐减小，并趋于０，但总是大于０，系统不稳定。设定电磁铁初始位置偏离平衡点５ｍｍ，轨道梁自振频率为１７．８Ｈｚ，计算得到电磁铁位移的响应见图５，可以看出，若轨道梁不存在阻尼作用，则系统会迅速发散，在０．５ｓ时 电 磁 铁 已 远 远 偏 离 平 衡 位 置，达２．５ｍ，因此，不考虑轨道弹性的控制策略无法实现对系统的稳定控制。无阻尼时特征根实部的最大值Ｆｉｇ．４ Ｍａｘｉｍｕｍｓ ｏｆ ｌａｔｅｎｔ ｒｏｏｔ ｒｅａｌ ｐａｒｔｓ（ｎｏ ｄａｍｐｉｎｇ）无阻尼时电磁铁位移响应Ｆｉｇ．５ Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔ（ｎｏ ｄａｍｐｉｎｇ）然而，实际的磁悬浮线路中轨道梁总是存在一定的阻尼，当轨道梁的刚度较大时系统也可能稳定。若考虑轨道梁的阻尼作用，式（３）变为ｍ１ｘ··１＝Ｆ－ｋｘ１－ｃｘ·１（１１）式中：ｃ为轨道梁阻尼系数。考察一定的轨道梁阻尼下系统矩阵Ａｒ特征根３６第５期 王辉，等：弹性轨道梁上磁悬浮控制方法实部的最大值随其自振频率的变化。可以看出，随着轨道梁刚度的增大，特征根实部的最大值逐渐减小，并变为负值，系统趋于稳定，这也是磁浮线路建设中尽量增大轨道梁刚度的主要原因。设定轨道梁阻尼系数为５０Ｎ·ｓ·ｍ－１，自振频率为１７．８Ｈｚ，电磁铁初始位移为５ｍｍ，计算电磁铁的位移响应见图７。可以看出，若设定稳定域为２％，则系统能够在０．３ｓ左右达到稳定状态，最大超调量为１０％。
３．３考虑轨道弹性的控制器设计通过上述推导与仿真结果可以看出，若不计轨道梁的阻尼作用，不考虑轨道弹性的状态反馈控制策略，无法实现对磁悬浮系统的稳定控制；虽然实际工程中磁悬浮线路的轨道梁具有一定的阻尼，为确保磁悬浮车辆的稳定运行，必须以提高轨道梁刚度与增加工程造价为代价。上述的控制方法以电磁铁的振动速度、加速度与悬浮间隙为反馈量进行主动控制，３个反馈量中仅悬浮间隙部分地反映了弹性轨道梁的振动状态，即作为磁悬浮系统重要组成部分的轨道梁，其振动状态并未完全引入控制系统，这就是假设轨道梁为刚性时设计出的控制器难以使系统稳定的根本原因。为此，本文利用状态观测器，将反映轨道振动状态的变量引入控制系统，进行控制器的设计。此时，状态反馈控制方法中有５个状态变量：
ｘ１、ｘ·１、ｘ２、ｘ·２、ｘ··２，反馈控制规律为Ｕ ＝－ＫＸ⌒＝－Ｋ１ｘ⌒１－Ｋ２ｘ⌒·１－Ｋ３ｘ⌒２－Ｋ４ｘ⌒·２－Ｋ５ｘ⌒··２（１２）Ｋ ＝ Ｋ１，Ｋ２，Ｋ３，Ｋ４，（ Ｋ）５Ｘ⌒＝ ｘ⌒１，ｘ⌒·１，ｘ⌒２，ｘ⌒·２，ｘ⌒··（ ）２Ｔ式中：ｘ⌒１为利用状态观测器得到的轨道梁垂向位移。选取ｘ１、ｘ·１，ｘ２、ｘ·２、ｘ··２、ｘ⌒１、ｘ⌒·１、ｘ⌒２、ｘ⌒·２、ｘ⌒··２作为整个闭环系统的状态变量，易知该１０维系统的系统矩阵Ａｒ为Ａｒ＝Ａ －ＢＫＧＣ Ａ－ＧＣ－［ ］ＢＫ（１３）设定轨道梁自振频率为１７．８Ｈｚ，不计其阻尼作用，利用线性二次型最优方法得到反馈矢量为Ｋ ＝ １ ４５５．９，１６７．５，－７ ２５６．２，－３１９．０，（ ６．６）进而可得系统矩阵的特征值为λ１＝－３ １６３．９０λ２＝－８１３．０９λ３＝λ４＝－３０．５９±１１５．７０ｉλ５＝λ６＝－２７．５７±１１０．０７ｉλ７＝λ８＝－２５．３９±４２．３６ｉλ９＝λ１０＝ －２０．７３±２１．０１ｉ系统矩阵的所有特征值实部均小于０，因此，整个闭环系统是稳定的。设定电磁铁初始位置偏离平衡点５ｍｍ，仿真时间为０．５ｓ时，电磁铁与轨道板的位移响应曲线分别见图８、９。由图８可知，若设定稳定域为２％，则系统在０．２ｓ左右可达到稳定状态，最大超调量为４％，仿真结果证明了控制策略的有效性。
轨道板位移响应Ｆｉｇ．９ Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｔｒａｃｋ３．４考虑轨道弹性的控制策略试验台验证在试验台上对考虑轨道梁弹性的控制策略的有效性进行验证。选定弹簧刚度为１０ｋＮ·ｍ－１。由于受到间隙传感器量程的限制，启动时电磁铁与轨道板间隙为１３．３ｍｍ。由图１０的试验结果可以看出，悬浮间隙在０．３ｓ左右可达到稳定状态，超调量为０．１９８ｍｍ，稳定间隙为１０ｍｍ；与试验结果相比，仿真结果中的系统稳定时间为０．２ｓ，超调量比试验结果大０．０１０ｍｍ，考虑到参数误差与数学模型的简化等原因，仿真结果与试验结果具有较高的一致性，说明仿真模型准确，同时验证了控制策略的有效性。
４结语针对磁悬浮车辆的车轨耦合振动问题，本文提出一种新型的控制策略。以单铁－弹性轨道梁系统为研究对象，建立了单铁悬浮系统的车轨耦合振动模型，并搭建了弹性梁单铁悬浮控制试验台。以此为基础，对比分析了常规的假设轨道为刚性的控制方法与考虑轨道弹性的控制方法下系统的稳定特性，并得出如下结论：若不计轨道梁的阻尼作用，不考虑轨道弹性的控制策略无法实现对磁悬浮系统的稳定控制，工程中磁悬浮线路的轨道梁具有一定的阻尼，较高的轨道梁刚度下磁悬浮车辆也可以稳定运行，但轨道梁的工程造价较高；在本文的控制方法中，利用状态观测器，将轨道梁的振动状态引入控制系统，即使不计轨道梁的阻尼，也能够使电磁铁在较低刚度的轨道梁上稳定悬浮，运用该控制方法，可降低磁悬浮线路对轨道梁的性能要求，从而减少磁悬浮线路的建设成本。
参 考 文 献 ：
Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ：
［１］ＹＡＮ Ｌｕ－ｇｕａｎｇ．Ｓｕｇｇｅｓｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｇｌｅｖ ｏｐｔｉｏｎ ｆｏｒＢｅｉｊｉｎｇ－Ｓｈａｎｇｈａｉ ｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄ ｌｉｎｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎＡｐｐｌｉｅｄ Ｓｕｐｅｒｃｏｎｄｕｃｔｉｖｉｔｙ，２００４，１４（２）：９３６－９３９．
［２］ＬＥＥ Ｈ Ｗ，ＫＩＭ Ｋ Ｃ，ＬＥＥ Ｊ．Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｍａｇｌｅｖ ｔｒａｉｎ ｔｅｃｈ－ｎｏｌｏｇｉｅｓ［Ｊ］．